卷第一 方田

〔一〕今有田廣十五步，從十六步。問︰：為田幾何？

荅曰：一畝。

〔二〕又有田廣十二步，從十四步。問︰：為田幾何？

荅曰：一百六十八步。〈圖：從十四，廣十二。〉

方田術曰：廣從步數相乘得積步。〈此積謂田冪。凡廣從相乘謂之冪。臣淳風等謹按：經云「廣從相乘得積步」，注云「廣從相乘謂之冪」，觀斯注意，積冪義同。以理推之，固當不爾。何則？冪是方面單布之名，積乃眾數聚居之稱。循名責實，二者全殊。雖欲同之，竊恐不可。今以凡言冪者據廣從之一方；其言積者舉眾步之都數。經云相乘得積步，即是都數之明文。注云謂之為冪，全乘積步之本意。此注前云積為田冪，於理得通。復云謂之為冪，繁而不當。今者注釋存善去非，略為料簡，遺諸後學。〉以畝法二百四十步除之，即畝數。百畝為一頃。〈臣淳風等謹按:此為篇端,故特舉頃、畝二法。餘術不復言者，從此可知。按︰一畝田，廣十五步，從而疏之，令為十五行，即每行廣步而從十六步。又橫而截之，令為十六行，即每行廣一步而從十五步。此即廣從相乘得積步，驗矣。二百四十步者，畝法也；百畝者，頃法也。故以除之，即得。〉

〔三〕今有田廣一里，從一里。問︰：為田幾何？

荅曰：三頃七十五畝。

〔四〕又有田廣二里，從三里。問︰：為田幾何？

荅曰：二十二頃五十畝。

里田術曰：廣從里數相乘得積里。以三百七十五乘之，即畝數。〈按：此術廣從里數相乘得積里。故方里之中有三頃七十五畝，故以乘之，即得畝數也。〉

〔五〕今有十八分之十二。問︰：約之得幾何？

荅曰：三分之二。

〔六〕又有九十一分之四十九。問︰：約之得幾何？

荅曰：十三分之七。

約分〈約分者，物之數量，不可悉全，必以分言之。分之為數，繁則難用。設有四分之二者，繁而言之，亦可為八分之四；約而言之，則二分之一也。雖則異辭，至於為數，亦同歸爾。法實相推，動有參差，故為術者先治諸分。〉術曰：可半者半之；不可半者，副置分母、子之數，以少減多，更相減損，求其等也。以等數約之。〈等數約之，即除也。其所以相減者，皆等數之重疊，故以等數約之。〉

〔七〕今有三分之一，五分之二。問︰：合之得幾何？

荅曰：十五分之十一。

〔八〕又有三分之二，七分之四，九分之五。問︰：合之得幾何？

荅曰：得一、六十三分之五十。

〔九〕又有二分之一，三分之二，四分之三，五分之四。問︰：合之得幾何？

荅曰：得二、六十分之四十三。

合分〈臣淳風等謹按︰合分知，數非一端，分無定準，諸分子雜互，羣母參差，麄細既殊，理難從一。故齊其眾分，同其羣母，令可相并，故曰合分。〉術曰：母互乘子，并以為實，母相乘為法。〈母互乘子：約而言之者，其分麄；繁而言之者，其分細。雖則麄細有殊，然其實一也。眾分錯難，非細不會。乘而散之，所以通之。通之則可并也。凡母互乘子謂之齊，羣母相乘謂之同。同者，相與通同共一母也；齊者，子與母齊，勢不可失本數也。方以類聚，物以羣分。數同類者無遠；數異類者無近。遠而通體知，雖異位而相從也；近而殊形知，雖同列而相違也。然則同之術要矣：錯綜度數，動之斯諧，其猶佩觿解結，無往而不理焉。乘以散之，約以聚之，齊同以通之，此其筭之綱紀乎。其一術者，可令母除為率，率乘子為齊。〉實如法而一。不滿法者，以法命之。〈今欲求其實，故齊其子，又同其母，令如母而一。其餘以等數約之，即得知，所謂同法為母，實餘為子，皆從此例。〉其母同者，直相從之。^[1]

〔一０〕今有九分之八，減其五分之一。問︰：餘幾何？

荅曰：四十五分之三十一。

〔一一〕又有四分之三，減其三分之一。問︰：餘幾何？

荅曰：十二分之五。

減分〈臣淳風等謹按︰諸分子、母數各不同，以少減多，欲知餘幾，減餘為實，故曰減分。〉術曰：母互乘子，以少減多，餘為實。母相乘為法。實如法而一。{{*|「母互乘子」知，以齊其子也，「以少減多」知，齊故可相減也。「母相乘為法」者，同其母。母同子齊，故如母而一，即得。

〔一二〕今有八分之五，二十五分之十六。問︰：孰多？多幾何？

荅曰：二十五分之十六多，多二百分之三。

〔一三〕又有九分之八，七分之六。問︰：孰多？多幾何？

荅曰：九分之八多，多六十三分之二。

〔一四〕又有二十一分之八，五十分之十七。問︰：孰多？多幾何？

荅曰：二十一分之八多，多一千五十分之四十三。

課分〈臣淳風等謹按︰分各異名，理不齊一，校其相多之數，故曰課分也。〉術曰：母互乘子，以少減多，餘為實。母相乘為法。實如法而一，即相多也。〈臣淳風等謹按︰此術母互乘子，以少分減多分。按：此術多與減分義同。唯相多之數，意共減分有異：減分知，求其餘數有幾；課分知，以其餘數相多也。〉

〔一五〕今有三分之一，三分之二，四分之三。問︰：減多益少，各幾何而平？

荅曰：減四分之三者二，三分之二者一，并，以益三分之一，而各平於十二分之七。

〔一六〕又有二分之一，三分之二，四分之三。問︰：減多益少，各幾何而平？

荅曰：減三分之二者一，四分之三者四，并以益二分之一，而各平於三十六分之二十三。

平分〈臣淳風等謹按︰平分知，諸分參差，欲令齊等，減彼之多，增此之少，故曰平分也。〉術曰：母互乘子，〈齊其子也。〉副并為平實。〈臣淳風等謹按︰母互乘子，副并為平實知，定此平實主限，眾子所當損益知，限為平。〉母相乘為法。〈「母相乘為法」知，亦齊其子，又同其母。〉以列數乘未并者各自為列實。亦以列數乘法。〈此當副置列數除平實，若然則重有分，故反以列數乘同齊。臣淳風等謹又按︰問︰云所平之分多少不定，或三或二，列位無常。平三知，置位三重；平二知，置位二重。凡此之例，一準平分不可預定多少，故直云列數而已。〉以平實減列實，餘，約之為所減。并所減以益於少。以法命平實，各得其平。

〔一七〕今有七人，分八錢三分錢之一。問︰：人得幾何？

荅曰：人得一錢、二十一分錢之四。

〔一八〕又有三人，三分人之一，分六錢三分錢之一，四分錢之三。問︰：人得幾何？

荅曰：人得二錢、八分錢之一。

經分〈臣淳風等謹按︰經分者，自合分已下，皆與諸分相齊，此乃直求一人之分。以人數分所分，故曰經分也。〉術曰：以人數為法，錢數為實，實如法而一。有分者通之；〈母互乘子知，齊其子；母相乘者，同其母；以母通之者，分母乘全內子。乘，散全則為積分，積分則與分子相通之，故可令相從。凡數相與者謂之率。率知，自相與通。有分則可散，分重疊則約也。等除法實，相與率也。故散分者，必令兩分母相乘法實也。〉重有分者同而通之。〈又以法分母乘，實分母乘法。此謂法、實俱有分，故令分母各乘全分內子，又令分母互乘上下。〉

〔一九〕今有田廣七分步之四，從五分步之三。問︰：為田幾何？

荅曰：三十五分步之十二。

〔二０〕又有田廣九分步之七，從十一分步之九。問︰：為田幾何？

荅曰：十一分步之七。

〔二一〕又有田廣五分步之四，從九分步之五，問︰：為田幾何？

荅曰：九分步之四。

乘分〈臣淳風等謹按︰乘分者，分母相乘為法，子相乘為實，故曰乘分。〉術曰：母相乘為法，子相乘為實，實如法而一。〈凡實不滿法者而有母、子之名。若有分，以乘其實而長之，則亦滿法，乃為全取。又以子有所乘，故母當報除。報除者，實如法而一也。今子相乘則母各當報除，因令分母札乘而連除也。此田有廣從，難以廣諭。設有問︰者曰︰馬二十匹，直金十二斤。今賣馬二十匹，三十五人分之，人得幾何？荅曰︰三十五分斤之十二。其為之也，當如經分術，以十二斤金為實，三十五人為法。設更言馬五匹，直金三斤。今賣四匹，七人分之，人得幾何？荅曰︰人得三十五分斤之十二。其為之也，當齊其金、人之數，皆合初問︰入於經分矣。然則分子相乘為實者，猶齊其金也；母相乘為法者，猶齊其人也。同其母為二十，馬無事於同，但欲求齊而已。又，馬五匹，直金三斤，完全之率；分而言之，則為一匹直金五分斤之三。七人賣四馬，一人賣七分馬之四。金與人交互相生，所從言之異，而計數則三術同歸也。〉

〔二二〕今有田廣三步、三分步之一，從五步、五分步之二。問︰：為田幾何？

荅曰：十八步。

〔二三〕又有田廣七步、四分步之三，從十五步、九分步之五。問︰：為田幾何？

荅曰：一百二十步、九分步之五。

〔二四〕又有田廣十八步、七分步之五，從二十三步、十一分步之六。問︰：為田幾何？

荅曰：一畝二百步、十一分步之七。

大廣田〈臣淳風等謹按︰大廣田知,初術直全步而無餘；次術空有餘分而無全步；此術先見全步復有餘分，可以廣兼三術，故曰大廣。〉術曰：分母各乘其全，分子從之，相乘為實。分母相乘為法。〈猶乘分也。〉實如法而一。〈今為術廣從俱有分，當各自通其分。命母入者，還須出之，故令「分母相乘為法」而連除之。〉

〔二五〕今有圭田廣十二步，正從二十一步。問︰：為田幾何？

荅曰：一百二十六步。

〔二六〕又有圭田廣五步、二分步之一，從八步、三分步之二。問︰：為田幾何？

荅曰：二十三步、六分步之五。

術曰：半廣以乘正從。〈半廣知，以盈補虛為直田也。亦可半正從以乘廣。按半廣乘從，以取中平之數，故廣從相乘為積步。畝法除之，即得也。〉

〔二七〕今有邪田，一頭廣三十步，一頭廣四十二步，正從六十四步。問︰：為田幾何？

荅曰：九畝一百四十四步。

〔二八〕又有邪田，正廣六十五步，一畔從一百步，一畔從七十二步。問︰：為田幾何？

荅曰：二十三畝七十步。

術曰：并兩邪而半之，以乘正從若廣。又可半正從若廣，以乘并。畝法而一。〈并而半之者，以盈補虛也。〉

〔二九〕今有箕田，舌廣二十步，踵廣五步，正從三十步。問︰：為田幾何？

荅曰：一畝一百三十五步。

〔三０〕又有箕田，舌廣一百一十七步，踵廣五十步，正從一百三十五步。問︰：為田幾何？

荅曰：四十六畝二百三十二步半。

術曰：并踵、舌而半之，以乘正從。畝法而一。〈中分箕田則為兩邪田，故其術相似。又可并踵、舌，半正從以乘之。〉

〔三一〕今有圓田，周三十步，徑十步。〈臣淳風等謹按︰術意以周三徑一為率，周三十步，合徑十步。今依密率，合徑九步十一分步之六。〉問︰：為田幾何？

荅曰：七十五步。〈此於徽術，當為田七十一步一百五十七分步之一百三。臣淳風等謹依密率，為田七十一步二十二分步之一十三。〉

〔三二〕又有圓田，周一百八十一步，徑六十步三分步之一。〈臣淳風等謹按︰周三徑一，周一百八十一步，徑六十步三分步之一。依密率，徑五十七步二十二分步之十三。〉問︰：為田幾何？

荅曰：十一畝九十步十二分步之一。〈此於徽術，當為田十畝二百八步三百一十四分步之一百一。臣淳風等謹依密率，為田十畝二百步八十八分步之八十七。〉

術曰：半周半徑相乘得積步。〈按：半周為從，半徑為廣，故廣從相乘為積步也。假令圓徑二尺，圓中容六觚之一面，與圓徑之半，其數均等。合徑率一而外周率三也。又按：為圖，以六觚之一面乘一弧半徑，三之，得十二觚之冪。若又割之，次以十二觚之一面乘一弧之半徑，六之，則得二十四觚之冪。割之彌細，所失彌少。割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣。觚面之外，又有餘徑。以面乘餘徑，則冪出觚表。若夫觚之細者，與圓合體，則表無餘徑。表無餘徑，則冪不外出矣。以一面乘半徑，觚而裁之，每輒自倍。故以半周乘半徑而為圓冪。此一周、徑，謂至然之數，非周三徑一之率也。周三者，從其六觚之環耳。以推圓規多少之覺，乃弓之與弦也。然世傳此法，莫肯精核；學者踵古，習其謬失。不有明據，辯之斯難。凡物類形象，不圓則方。方圓之率，誠著於近，則雖遠可知也。由此言之，其用博矣。謹按圖驗，更造密率。恐空設法，數昧而難譬，故置諸檢括，謹詳其記注焉。割六觚以為十二觚術曰：置圓徑二尺，半之為一尺，即圓里觚之面也。令半徑一尺為弦，半面五寸為句，為之求股。以句冪二十五寸減弦冪，餘七十五寸，開方除之，下至秒、忽。又一退法，求其微數。微數無名知以為分子，以十為分母，約作五分忽之二。故得股八寸六分六氂二秒五忽五分忽之二。以減半徑，餘一寸三分三氂九毫七秒四忽五分忽之三，謂之小句。觚之半面又謂之小股。為之求弦。其冪二千六百七十九億四千九百一十九萬三千四百四十五忽，餘分棄之。開方除之，即十二觚之一面也。割十二觚以為二十四觚術曰：亦令半徑為弦，半面為句，為之求股。置上小弦冪，四而一，得六百六十九億八千七百二十九萬八千三百六十一忽，餘分棄之，即句冪也。以減弦冪，其餘開方除之，得股九寸六分五氂九毫二秒五忽五分忽之四。以減半徑，餘三分四氂七秒四忽五分忽之一，謂之小句。觚之半面又謂之小股。為之求小弦。其冪六百八十一億四千八百三十四萬九千四百六十六忽，餘分棄之。開方除之，即二十四觚之一面也。割二十四觚以為四十八觚術曰：亦令半徑為弦，半面為句，為之求股。置上小弦幕，四而一，得一百七十億三千七百八萬七千三百六十六忽，餘分棄之，即句冪也。以減弦冪，其餘，開方除之，得股九寸九分一氂四毫四秒四忽五分忽之四。以減半徑，餘八氂五毫五秒五忽五分忽之一，謂之小句。觚之半面又謂之小股。為之求小弦。其冪一百七十一億一千二十七萬八千八百一十三忽，餘分棄之。開方除之，得小弦一寸三分八毫六忽，餘分棄之，即四十八觚之一面。以半徑一尺乘之，又以二十四乘之，得冪三萬一千三百九十三億四千四百萬忽。以百億除之，得冪三百一十三寸六百二十五分寸之五百八十四，即九十六觚之冪也。割四十八觚以為九十六觚術曰：亦令半徑為弦，半面為句，為之求股。置次上弦冪，四而一，得四十二億七千七百五十六萬九千七百三忽，餘分棄之，即句冪也。以減弦冪，其餘，開方除之，得股九寸九分七氂八毫五秒八忽十分忽之九。以減半徑，餘二氂一毫四秒一忽十分忽之一，謂之小句。觚之半面又謂之小股。為之求小弦。其冪四十二億八千二百一十五萬四千一十二忽，餘分棄之。開方除之，得小弦六分五氂四毫三秒八忽，餘分棄之，即九十六觚之一面。以半徑一尺乘之，又以四十八乘之，得冪三萬一千四百一十億二千四百萬忽，以百億除之，得冪三百一十四寸六百二十五分寸之六十四，即一百九十二觚之冪也。以九十六觚之冪減之，餘六百二十五分寸之一百五，謂之差冪。倍之，為分寸之二百一十，即九十六觚之外弧田九十六所，謂以弦乘矢之凡冪也。加此冪於九十六觚之冪，得三百一十四寸六百二十五分寸之一百六十九，則出圓之表矣。故還就一百九十二觚之全冪三百一十四寸以為圓冪之定率而棄其餘分。以半徑一尺除圓冪，倍之，得六尺二寸八分，即周數。令徑自乘為方冪四百寸，與圓冪相折，圓冪得一百五十七為率，方冪得二百為率。方冪二百其中容圓冪一百五十七也。圓率猶為微少。按：弧田圖令方中容圓，圓中容方，內方合外方之半。然則圓冪一百五十七，其中容方冪一百也。又令徑二尺與周六尺二寸八分相約，周得一百五十七，徑得五十，則其相與之率也。周率猶為微少也。晉武庫中漢時王莽作銅斛，其銘曰：律嘉量斛，內方尺而圓其外，庣旁九氂五毫，冪一百六十二寸，深一尺，積一千六百二十寸，容十鬥。以此術求之，得冪一百六十一寸有奇，其數相近矣。此術微少。而觚差冪六百二十五分寸之一百五。以一百九十二觚之冪為率消息，當取此分寸之三十六，以增於一百九十二觚之冪，以為圓冪，三百一十四寸二十五分寸之四。置徑自乘之方冪四百寸，令與圓冪通相約，圓冪三千九百二十七，方冪得五千，是為率。方冪五千中容圓冪三千九百二十七；圓冪三千九百二十七中容方冪二千五百也。以半徑一尺除圓冪三百一十四寸二十五分寸之四，倍之，得六尺二寸八分二十五分分之八，即周數也。全徑二尺與周數通相約，徑得一千二百五十，周得三千九百二十七，即其相與之率。若此者，蓋盡其纖微矣。舉而用之，上法仍約耳。當求一千五百三十六觚之一面，得三千七十二觚之冪，而裁其微分，數亦宜然，重其驗耳。臣淳風等按：舊術求圓，皆以周三徑一為率。若用之求圓周之數，則周少徑多。〉

又術曰：周徑相乘，四而一。

又術曰：徑自相乘，三之，四而一。

又術曰：周自相乘，十二而一。

〔三三〕今有宛田，下周三十步，徑十六步。問︰：為田幾何？

荅曰：一百二十步。

〔三四〕又有宛田，下周九十九步，徑五十一步。問︰：為田幾何？

荅曰：五畝六十二步、四分步之一。

術曰：以徑乘周，四而一。

〔三五〕今有弧田，弦三十步，矢十五步。問︰：為田幾何？

荅曰：一畝九十七步半。

〔三六〕又有弧田，弦七十八步、二分步之一，矢十三步、九分步之七。問︰：為田幾何？

荅曰：二畝一百五十五步、八十一分步之五十六。

術曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一。

〔三七〕今有環田，中周九十二步，外周一百二十二步，徑五步。問︰：為田幾何？

荅曰：二畝五十五步。

〔三八〕又有環田，中周六十二步、四分步之三，外周一百一十三步、二分步之一，徑十二步、三分步之二。問︰：為田幾何？

荅曰：四畝一百五十六步、四分步之一。

術曰：并中外周而半之，以徑乘之為積步。

密率術曰：置中外周步數，分母、子各居其下。母互乘子，通全步，內分子。以中周減外周，餘半之，以益中周。徑亦通分內子，以乘周為實。分母相乘為法，除之為積步，餘積步之分。以畝法除之，即畝數也。